理发店发型偏好数据的主成分分析
扫描二维码随身看资讯
使用手机 二维码应用 扫描右侧二维码,您可以
1. 在手机上细细品读~
2. 分享给您的微信好友或朋友圈~
假设你有一家理发店,已经记录了过去一年中所有顾客的头发长度和发型偏好的数据。现在你想从这些数据中提取一些主要的信息,比如顾客最常选择的发型类型,以及不同发型之间的相关性等。这对于你未来开展有针对性的营销活动很有帮助。
具体来说,我们可以将每个顾客的发型偏好用一个多维向量来表示,每一维度对应一种发型类型的喜好程度(比如评分1-5分)。这样,所有顾客就形成了一个海量的、高维的数据集。
这时候,我们可以对这个数据集进行主成分分析(PCA)。PCA的核心就是找到数据的主要特征向量,即那些能够最大程度解释数据方差的方向向量。
例如,假设经过PCA分析,发现主要有两个显著的特征向量:
- 第一个特征向量对应" 时尚发型 "这个主成分
- 第二个特征向量对应" 保守发型 "这个主成分
沿着这两个特征向量方向投影,就可以非常准确地还原出原始的高维数据。
这意味着,尽管原始数据有很多维度(发型类型),但是顾客的实际偏好可以用"时尚发型"和"保守发型"这两个主成分来概括和解释。
利用这两个主要特征向量,你可以:
- 分析哪些具体发型类型属于时尚型或保守型
- 根据客户的偏好,将他们分成偏好时尚的群体和偏好保守的群体
- 针对不同群体制定不同的营销策略和发型组合
所以,通过PCA分析得到的特征向量,可以帮助我们从高维复杂的数据中提取出主要的信息,发现数据背后的内在结构和群体特征,从而指导后续的决策。
计算过程
一个主成分分析(PCA)的具体计算过程示例。我们继续用理发店的发型偏好数据作为例子。
假设我们有5个顾客,每个顾客对5种发型(A,B,C,D,E)的喜好程度用1-5分评分,数据如下:
顾客1: [5, 4, 2, 1, 3]
顾客2: [4, 5, 1, 2, 3]
顾客3: [2, 1, 5, 4, 3]
顾客4: [1, 2, 4, 5, 2]
顾客5: [3, 3, 3, 3, 3]
我们的目标是找到能最大程度解释这些数据方差的主要特征向量。 计算步骤 如下:
- 将原始数据矩阵X中心化(去均值),得到均值为0的矩阵
- 计算X的协方差矩阵: Σ = (1/n) * X^T * X (n为样本数)
- 计算协方差矩阵Σ的特征值和对应的特征向量
- 将特征向量按照对应的特征值大小从高到低排序
- 选取前k个最大的特征值对应的特征向量作为主成分
具体计算:
- 去均值后的X矩阵为:
[2 1 -1 -2 0 ]
[1 2 -2 -1 0 ]
[-1 -2 2 1 0 ]
[-2 -1 1 2 -1 ]
[0 0 0 0 0 ]
- 计算协方差矩阵Σ:
[3.2 0.8 -0.8 -0.8 -0.8]
[0.8 3.2 -0.8 -0.8 -0.8]
[-0.8 -0.8 3.2 0.8 0.8]
[-0.8 -0.8 0.8 3.2 0.8]
[-0.8 -0.8 0.8 0.8 0.8]
-
计算Σ的特征值和对应特征向量(略去具体过程):
特征值1 = 6.828, 对应特征向量v1 = [0.456, 0.456, -0.456, -0.456, -0.364]
特征值2 = 2.172, 对应特征向量v2 = [0.556, -0.282, -0.282, 0.718, 0.166]
... -
由于前两个特征值最大,所以选取v1和v2作为主成分
-
v1对应"时尚发型"的主成分, v2主要对应"保守发型"
通过将原始5维数据投影到由v1和v2张成的2维空间,就能很好地概括原始数据的主要模式和差异。
投影分量计算
原始的5维数据为X = (x1, x2, x3, x4, x5),其中x1-x5分别是顾客对5种发型的评分。
现在我们想将X投影到由v1和v2张成的2维平面上,可以通过下面的矩阵运算:
X' = [v1 v2]T * X
其中:
- v1 = [0.456, 0.456, -0.456, -0.456, -0.364]
- v2 = [0.556, -0.282, -0.282, 0.718, 0.166 ]
- [v1 v2]T 是一个2x5的矩阵,每行就是v1和v2 , T表示矩阵的转置(Transpose)运算
- X是原始5维数据
- X'是投影后的2维数据
具体运算就是:
- 先将v1和v2并列成一个2x5矩阵
- 将X当成一个5x1的列向量
- 通过矩阵乘法 [v1 v2]T * X 得到结果X'
- 计算的结果X' = (x1', x2')是一个2x1的向量,其中x1'就是X在v1方向的投影分量,x2'就是X在v2方向的投影分量。
通过这样的矩阵投影运算,我们就能将任意一个原始5维数据X,映射到一个二维坐标点(x1',x2')上。
不同顾客对应的二维坐标点(x1',x2')分布在2D平面上,散点分布的模式就能很好地展示:
- 在v1(时尚发型)方向投影 大 的点,代表 偏好时尚发型 ;
- 在v2(保守发型)方向投影 大 的点,代表 偏好保守发型 ;
- 在两个方向上都投影值较小的点,代表比较 中性 的顾客;
这种将原始高维数据投影到主成分2维平面的方法,我们既降低了维度,又能很好地保留和展示数据中的主要模式和差异信息,这正是PCA的精髓所在。
这个例子展示了如何通过PCA的数学计算过程,从复杂数据中发现主要的特征向量,并利用它们提取主成分信息。
圣安地列斯 手机最终版
骑士冲呀 免广告
nullsbrawlBT服最新版本下载(荒野乱斗) v54.243 安卓版
旅行串串 官网版
太极熊猫破解无限钻石版下载 v1.1.83 安卓版
漫威蜘蛛侠 正版手游
植物大战僵尸杂交版 手游免费下载最新版
dnf手游 应用宝版
未上锁的房间全解锁
糖果诅咒汉化版
蛋仔派对 百度版
soulknight国际服 v6.2.1 安卓版
五霸七雄英雄年代手游官方版下载 v1.0.2 最新版
万神之王0.1折一剑开箱版下载 v1.0.0 安卓版
- 1
加查之花 正版
- 2
爪女孩 最新版
- 3
企鹅岛 官方正版中文版
- 4
捕鱼大世界 无限金币版
- 5
情商天花板 2024最新版
- 6
内蒙打大a真人版
- 7
球球英雄 手游
- 8
烦人的村民 手机版
- 9
跳跃之王手游
- 10
蛋仔派对 国服版本