C#.Net筑基-深入解密小数内部存储的秘密

为什么 0.1 + 0.2 不等于 0.3 ?为什么 16777216f 等于 16777217f ?为什么金钱计算都推荐用 decimal ?本文主要学习了解一下数字背后不为人知的存储秘密。


01、数值类型

C#中的数字类型主要包含两类,整数、小数,C#中的小数都为浮点(小)数。

void Main()
{
	int a1 = 100;
	int a2 = 0x0f; //15
	var b2 = 0b11; //3
	var x1 = 1;    //整数值默认为int
	var y1 = 1.1;  //小数值默认为double
	Add(1, 2.3); //3.3
	Add(1, 3);   //4
}
private T Add<T>(T x, T y) where T : INumber<T>
{
	return x + y * x;
}
  • var 类型推断时,整数值默认为 int ,小数值默认为 double
  • .NET 7 新增的一个专门用来约束数字类型的接口 INumber <T> ,用来约束数字类型非常好用。

数值类型大多提供的成员:

?静态字段 说明
MaxValue 最大值常量, Console.WriteLine(int.MaxValue); //2147483647
MinValue 最小值常量
?静态方法 说明
Parse、TryParse 转换为数值类型,是比较常用的类型转换函数,参数 NumberStyles 可定义解析的数字格式
Max、Min 比较值的大小,返回最大、小的值, int.Max(1,100) //100
Abs 计算绝对值
IsInfinity 是否有效值,无穷值
IsInteger 是否整数
IsNaN 是否为NaN
IsPositive 是否零或正实数
IsNegative 是否表示负实数

数值类型还有很多接口,如加、减、乘、除的操作符接口,作为泛型约束条件使用还是挺不错的。

?操作符接口 说明
IAdditionOperators 加法
ISubtractionOperators 减法
IMultiplyOperators 乘法
IDivisionOperators 除法
public static T Power<T>(T v1, T v2) where T : INumber<T>,
	IMultiplyOperators<T, T, T>, IAdditionOperators<T, T, T>
{
	return v1 * v1 + v2 * v2;
}

02、小数、浮点数⁉

C#中的小数类型有float、double、decimal 都是浮点数,浮点 就是“ 浮动小数点位置 ”,小数位数不固定,小数部分、整数部分是共享数据存储空间的。相应的,自然也有 定点小数 ,固定小数位数,在很多数据库中有定点小数,C#中并没有。

在编码中我们常用的浮点小数是float、double,经常会遇到精度问题,以及类似下面这些面试题。

  • ❓ 为什么 0.1 + 0.2 不等于 0.3
  • ❓ 为什么浮点数无法准确的表示 0.1
  • ❓ 为什么 16777216f 等于 16777217f ?这里 f 表示为 float
  • ❓ 为什么 32 float 可以最大表示 3.402823E38 64 double 可以最大表示 1.79*E308 ,那么点位数根本存不下啊?
  • ❓ 同样是32位, float 的数据范围远超 int ,为什么?

Console.WriteLine(0.1 + 0.2 == 0.3);       //False
Console.WriteLine(16777216f == 16777217f); //True
Console.WriteLine(double.MaxValue); //1.7976931348623157E+308
Console.WriteLine(int.MaxValue);    //2147483647
Console.WriteLine(Sizeof(double));  //8 //8字节(64位)

float、double为浮点数,小数位数有限,比较容易损失精度。造成上面这些问题的根本原因是其存储机制决定的,他们都遵循IEEE754格式规范,几乎所有编程语言和处理器都支持该规范,因此大多数编程语言都有类似的问题。Decimal 为高精度浮点数,存储机制与float、double不同,她采用十进制方式表示。

❗ 要搞懂float、double,就不得不了解IEEE754规范!

2.1、IEEE754:float、double存储原理

IEEE 754 ( 维基百科 )是一个关于浮点数算术的国际标准,它定义了浮点数的表示格式、舍入规则、特殊值、浮点运算等规范。IEEE 754 标准最早发布与1985年,其中包括了四种精度规范,其中最常用的就两种: 单精度 (float,4字节32位)和 双精度 (double,8字节64位)。大多数编程语言、硬件处理器都支持这两种浮点数据类型,因此float、double的知识几乎是所有语言通用的,可以深入了解一下,不亏的!

IEEE 754 浮点数不像十进制字面量值那样存储,而是用下面的二进制方式来表示并存储的,其实就是二进制的科学计数法。其二进制表示包含三个部分: 符号位S 指数部分 (阶码E,2为底的指数)和 尾数部分M

  • ? 符号位(Sign) :占用1位,这是浮点数的最高位,用于表示数字的正负。0表示正数,1表示负数。

  • ? 指数部分(ExPONEnt,阶码) :表示为2位底的指数,这里使用了移码,实际的指数 e = E-127 ,这样省去了指数的符号位,计算也更方便。

    • float 的指数部分8位, 2^8=256 偏移量(移码)为127,表示十进制范围为 [-127,128],其数据范围就为 ±2^128 = ±3.4E38 。指数全是1即指数值为255时,表示为无效数字 ±infinity或NaN。
    • double 的指数部分11位, 2^11=2048 偏移量(移码)为1023,十进制值范围[-1023,1024],因此数据范围 ±2^1024 = ±1.79E308
  • ? 尾数部分(Mantissa) :这部分表示数字的精确值(有效数字),包括整数和小数部分。尾数长度决定了精度,因为有效数字长度是有限的,因此就必然存在精度丢失的问题。

    • float 的尾数部分23位,十进制 2^23=8388608 ,最多6~7(不完整的第7位)位有效十进制数字,只有前6位是完整的。
    • double 尾数长度52位, 2^52 = 4503599627370496 ,因此最多有15~16 位有效十进制数字。

IEEE754浮点数都会被转换为上述二进制形式: **符号*尾数*2^指数** ,如 2 = 1.0 * 2^1 0.5 = 1.0 * 2^-1 5 = 1.25* 2^2 。数据(整数、小数部分)先转换为二进制形式,然后左移或右移小数点,转换为 1.M 形式,始终都是 “1”开头,因此就只存储小数部分即可。

?浮点数 =


十进制 2 就表示为 2 = 1.0* 2^1 。下图来自 在线IEEE754转换器计算: IEEE-754 Floating Point Converter 。

  • 阶码 E = 127+1 = 128 (实际指数e=1) 。
  • 尾数 1.0 ,实际存储的尾数就是 0

十进制 0.75 表示为 0.75 = 1.5* 2^-1 ,指数为 -1 ,尾数为 1.5

  • 阶码 E = 127+ (-1) = 126 (实际指数e=-1) 。
  • 尾数 1.5 ,实际存储的尾数就是 0.5 ,二进制值为 0.1 。为什么0.5 的二进制为0.1呢,请看后续章节。

2.2、float、double对比

类型 单精度 float 双精度 double
CTS类型 System.Single System.Double
长度 4字节32位 8字节64位
符号位S 1 1
阶码(指数位T) 8,[-127,128] 11,[-1023,1024]
尾数M 23 52
阶码偏移量 127, e= E -127 1023, e= E -1023
精度(10进制) **6~7 **, 2^23=8388608 15~16 2^52 = 4503599627370496
范围 ±3.402823E38 , 2^128=3.4E38 ±1.79*E308, 2^1024=1.79E308
字面量表示(后缀) f / F d / D

float只能用于 表示6~7个有效数字时,才不会损失精度。

//7位有效数字
Console.WriteLine(4234567f);  //4234567
//第8位就不准确了
Console.WriteLine(42345678f); //42345680
Console.WriteLine(42345671f); //42345670

//7位有效数字
Console.WriteLine(0.2345678f);  //0.2345678
//第8位就不准确了
Console.WriteLine(2.12345678f); //2.1234567
Console.WriteLine(0.212345678f); //0.21234567

2.3、小数是怎么转换为二进制的?

对于整数转换小数是非常容易理解的,计算机的二进制是天然支持整数存储为二进制的。十进制整数转成二进制通常采用 ”除 2 取余,逆序排列” 即可。

Console.WriteLine($"{1:B4}"); //0001
Console.WriteLine($"{2:B4}"); //0010
Console.WriteLine($"{3:B4}"); //0011
Console.WriteLine($"{4:B4}"); //0100
Console.WriteLine($"{5:B4}"); //0101
Console.WriteLine($"{8:B4}"); //1000

?“B”格式只支持整数,更多格式化参考《 String字符串全面了解>字符串格式化大全 》

?乘2取整法

但小数则不同,采用的是 “ 乘2取整法 ”,小数部分循环迭代,直到小数部分 =0 为止。:如下 0.875 的十进制浮点数转换为二进制格式为: 0.111

0.111 ,存储为IEE754浮点数,转换为 1.M*2^E 结构,小数点右移一位,就是 1.11*2^-1

  • 指数E = -1 + 127 = 126 ,二进制值为 01111110
  • 尾数为 11 后面补0。

十进制小数 6.36 转换为二进制,整数部分+小数部分分别转换后合体:

?无限循环的0.1!

二进制无法准确表示小数 0.1 ,是因为 0.1 转换为二进制后是无限循环的, 0.0 0011 0011 0011... ,“0011”无限循环。就像十进制小数 1/3 = 0.333 一样。

转换为 1.M*2^E 结构,小数点右移4位,尾数就是 1.1001 1001 ,指数 E = -4 +127 = 123

2.4、浮点数的精度是怎么回事?

计算机存储整数很简单,每个数字是确定的。但小数则不同,0到1之间的小数都无限种可能, 计算机有限的空间无法存储无限的小数 。因此计算机将小数也当成“离散”的值,就像整数那样,整数之间间隔始终为1。给小数一个间隔刻度,如下图,用钟表来举例,小数刻度(步进)为0.234(十进制)。

这样做的好处可以兼顾“所有”小数,小数的精度就取决于钟表的“刻度”,刻度越小,精度越高,当然存储时所需要的空间也就越大。

因此,这个精度本质上是由表盘间隔刻度(Gap)决定的,即使 0.0012 的间隔刻度,精度达到了4位十进制数,也只能保障前2~3位小数是可靠的。0.001X、0.002X、0.003X,他始终无法表示0.0013、0.0025。

可通过提高刻度(Gap)来提高精度,但存储长度是有限的,因此不管是那种浮点数都是有精度限制的。精度越高的数据类型,也需要更多的长度来存储数据。

32位 float 用了23位来存储有效数字,十进制也就6~7位( 2^23=8388608 )。在IEEE754规范中,小数的“刻度”并不是均匀分布的,而是越来越大,数值越大则精度越低。如下面的表盘和刻度尺的示意图,其精度(Gap)的分布是不均匀的, 0 附近数字的精度最高,然后精度就越来越低了,低到超过1。

看看 float 的间隔刻度(Gap)如下图,来自官方 IEEE_754文档 :

  • 当数值大于8388608时,刻度(Gap)为1,就不能包含小数了。
  • 当数字大于16777216(1600+万)时间隔刻度为2,连整数精度都不能保证了?。
//float大于8388608后的间隔为1
Console.WriteLine(8388608.1f == 8388608.4f); //True
//大于16777216后的间隔为2
Console.WriteLine(16777216f == 16777217f); //True
Console.WriteLine(16777218f == 16777219f); //False
Console.WriteLine(16777219f == 16777220f); //True

下图是double的刻度表:小于8的数字都能有16位精度。

? 怎么感觉float很鸡肋呢?限制太多了!所以编程中浮点数多大都用的 double 居多,float比较少。


03、更精确的 Decimal

System.Decimal 是16字节(128位)的 高精度十进制浮点数 ,不同于float、double 的二进制存储机制,Decimal 采用10进制存储,表示-7.9E28 到 +7.9E28之间的十进制数。Decimal 最大限度地减少了因舍入而导致的错误,比较适用于对精度要求高场景,如财务计算。

? Decimal并不属于IEEE754规范,也不是处理器支持的类型,计算性能要差一点点(约 double 的 10%)。

Console.WriteLine(1f / 3f * 3f); //1
Console.WriteLine(0.1 + 0.2 == 0.3); //False
//decimal更高精度
Console.WriteLine(1m / 3m * 3m); //0.9999999999999999999999999999
Console.WriteLine(0.1m + 0.2m == 0.3m); //True

Decimal可以准确的表示 0.1 ,Decimal 128位的存储结构如下图( 图来源 ):

  • 96位 存储一个大整数,就是有效数字, Math.Pow(2,96) = 7.9E28 ,最多28位有效数字,因此小数最多也就是28位(全是小数时)。
  • 剩下的 32位 中,有一个符号位,0 表示正数,1 表示负数。其中有 5 位(下图中的第111位)表示10的指数部分(0到28的整数),可以理解为小数点的位置,其他位数没有使用默认为0(有点浪费呢?)。

Decimal 表示小数其实是“障眼法”,内部有三个int (High、Mid、Low)来表示96位有效数字,还有一个int表示指数。可以通过 decimal.GetBits() 方法获取他们的值。下图来自 Decimal 源码 Decimal.cs

3.1、为什么Decimal没有0.1问题?

在Decimal中就没有 0.1+0.2 不等于 0.3 的问题,因为她能准确表示 0.1

其根本原因就是 Decimal 不会把小数转换为二进制,而是就用十进制。把小数都转为整数存储,如 0.1 在Decimal 中会被表示为 1* 10^-1 ,尾数为1,指数为 -1 指数就是小数点位置

? Decimal值 =

var arr = decimal.GetBits(0.1M);	
Console.WriteLine($"尾数:{arr[2]}{arr[1]}{arr[0]}");
Console.WriteLine($"指数:"+$"{arr[3]:B32}".Substring(0,16));
//尾数:001
//指数:0000000000000001

100.1024 存储为 1001024* 10^-4

  • 尾数为 1001024 ,全都转换为整数了。不用担心超出整数int范围, 96 位有三个整数并行存储呢!
  • 指数为 4 ,小数点位置在第四格。
var arr = decimal.GetBits(100.1024M);	
Console.WriteLine($"尾数:{arr[2]}{arr[1]}{arr[0]}");
Console.WriteLine($"指数:"+$"{arr[3]:B32}".Substring(0,16));
//尾数:001001024
//指数:0000000000000100

如果是负数 -100.1024 ,则只有符号位为 1 ,其他一样

var arr = decimal.GetBits(-100.1024M);	
Console.WriteLine($"尾数:{arr[2]}{arr[1]}{arr[0]}");
Console.WriteLine($"指数:"+$"{arr[3]:B32}".Substring(0,16));
//尾数:001001024
//指数:1000000000000100

? 所以 Decimal 值只要没有超过28~29位有效数字,就没有精度损失!是不是Very Nice!flaot、double 损失精度的根本原因是其存储机制,必须把小数转换为二进制值,再加上有限的精度位数。

3.2、Decimal、Double、Float对比

类型 单精度 float 双精度 double Decimal 高精度 浮点数
类型 System.Single System.Double System.Decimal
规范 IEEE754 IEEE754 无,.Net自定义类型
是否基元类型
长度 32位(4字节) 64位(8字节) 128位(16字节)
内部表示 二进制,基数为2 二进制,基数为2 十进制,基数为10
字面量(后缀) f / F 后缀 d / D 后缀 m / M
最大精度 6~7 15~16 28~29位
范围 ±3.4E38 , 2^23=3.4E38 范围很大,±1.7*E308 -2^(96) 到 2^(96),±7.9E28
特殊值 +0、-0、+∞、-∞、NaN +0、-0、+∞、-∞、NaN
速度 处理器原生支持,速度很快 处理器原生支持,速度很快 非原生支持,约 double 10%

Decimal 虽然精度高,但长度也大,计算速度较慢,所以还是根据实际场景选择。财务计算一般都用 Decimal 是因为他对精度要求较高,钱不能算错,传说算错了要从程序员工资里扣??。


04、一些编程实践

  • 对于精度要求高的场景不适合用浮点数(double、float),推荐 decimal ,特别是价格、财务计算。
  • 浮点数不适合直接相等比较,直接相等大多会出Bug。
  • 在存储比较大的数字时,需注意float、double 对于整数也有精度问题。

4.1、浮点数的相等比较

  • 使用相同的精度进行比较, Math.Round() 获取相同的精度值。
  • 比较相似性,根据实际场景设定一个误差值,如 1e-8 ,只要差值在这个误差范围内,都认为相等。
var f1 = 0.1 + 0.2;
var f2 = 0.3;
	
Console.WriteLine(f1 == f2); //False
//相同精度
Console.WriteLine(Math.Round(f1,6) == Math.Round(f2,6)); //True
//误差范围
Console.WriteLine(Math.Abs(f1-f2)<1e-8); //True

4.2、取整与四舍五入

取整方式 说明/示例
整数相除 10/4=2 抛弃余数,只留整数部分
强制转换 (int)2.9=2 直接截断,只留整数部分,需要注意‼️
Convert转换,四舍五入取整 Convert.ToInt32(2.7) = 3; Convert.ToInt32(2.2) = 2;
格式化截断,四射五入 字符串格式化时的截断,都是四舍五入, $"{2.7:F0}" = "3"
Math.Ceiling() ,向上取整 Math.Ceiling(2.3) = 3 ,⁉️注意负数 Math.Ceiling(-2.3) = -2
Math.Floor() ,向下取整 Math.Floor(2.3) = 2 ,⁉️注意负数 Math.Floor(-2.3) = -3
Math.Truncate() ,截断取整 Math.Truncate(2.7) = 2 ,只保留整数部分,同强制转换
Math.Round() ,四舍五入 可指定四舍五入精度, Math.Round(2.77,1) = 2.8

参考资料

  • MSDN: System.Decimal 结构
  • MSDN: 浮点数值类型(C# 引用)
  • IEEE 754-1985
  • IEEE Floating-Point Representation
  • IEEE-754 Floating Point Converter ,浮点数在线转换器
  • IEEE-754 floating point numbers converter ,也是一个在线浮点数在线计算器
  • IEEE754详解
  • 都工作两年了,还不知道浮点数如何转二进制?

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